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EL PITAGÓRICO CONDENADO A MUERTE POR DEMOSTRAR EL PRIMER NÚMERO IRRACIONAL

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Pitágoras, filósofo y matemático griego, fue quien contribuyó de manera significativa en las matemáticas dando pie al vasto conocimiento que tenemos actualmente en la humanidad. Tuvo como seguidores a grandes filósofos como Platón y Aristóteles, y a toda una hermandad proveniente de la escuela que fundó, que pasaron a conocerse como los pitagóricos, quienes se encargaron de difundir sus enseñanzas, las cuales le llevaron a ganarse el título de padre de las matemáticas y ser conocido como el primer matemático puro.

Gracias a su visión cosmológica, filosófica y religiosa, para Pitágoras los números tenían gran importancia, pero también significados profundos que había que descifrar, siendo el más importante el número uno (1), que representaba para él la razón, lo definido, lo estable, el principio del mundo. “Todo lo cognoscible tiene un número, pues no es posible que sin número nada pueda ser concebido o conocido”, decía Pitágoras.

Los siguientes números más importantes para los pitagóricos eran los números “cuadrados”, que son la suma de los puntos que se representan en la figura, tales como 1, 4, 9, 16, 25…, también conocidos como cuadrados “perfectos”.

Números cuadrados
Números cuadrados
Números triangulos

Formas como el triángulo, pentágono y muchas otras formas poligonales fueron también planteadas. El estudio de los conteos de estas formas iba evolucionando cada vez más. Se llegó a comparar los números cuadrados con los triangulares donde el 36 aparece en ambas listas. Otro detalle es que cuando sumas dos números triangulares sucesivos entre sí, se obtiene un número cuadrado. Por ejemplo si sumamos 3+6 nos da 9, que es un cuadrado, y lo mismo si sumamos 1+3 o 6+10. Además las observaciones dejaron ver que al trazar una línea diagonal sobre un cuadrado compuesto por 4 filas y 4 columnas (número cuadrado 16) se puede ver dos números triángulos, uno y su sucesivo. En este caso, según gráfico vemos a los números triangulares 6 y 10. Sucediendo lo mismo para cualquier tamaño de cuadrado.

Después de estas observaciones hallar el área de un cuadrado fue el siguiente paso lógico. El área de un cuadrado con lado 4 es 4 x 4 = 42 = 16 unidades cuadradas. Con esto sabemos que el área de un cuadrado con lado X es será X2. Dando la vuelta a la pregunta, si deseamos hallar la longitud de un cuadrado que tiene área 16, la solución es obviamente 4. La raíz cuadrada de 16 es 4 y lo representamos así √16 = 4. El símbolo √ se usa desde el 1500. Podemos observar que todos los números cuadrados tienen como raíces cuadradas a números enteros.

Un número importante para los pitagóricos también fue el 2, el primer número par, símbolo de la diversidad, opinión y contraposición, de la materia, de la imperfección, de lo indefinido, de la dualidad. Pero el 2 no tiene un número entero como raíz cuadrada, si usamos una calculadora para hallar √2 obtendremos 1,414213562 y tantos decimales como la calculadora permita mostrar, pero ¿Es esa la raíz cuadrada de dos? Para comprobarlo debemos multiplicar el número por sí mismo 1,414213562 x 1,414213562 y esto nos da 1,99999999. Se descubre que siempre obtendremos una aproximación a la raíz cuadrada de 2.

Debido a su amplio estudio de √2, a éste se le conoce como el número pitagórico, el primer número irracional (no se puede expresar como una fracción de dos números enteros) demostrado por Hípaso de Metaponto que perteneció a la hermandad. Hallazgo que hizo cuando quería demostrar que era racional (que podía expresarse como una fracción de dos números enteros), pero Pitágoras no creía en los números irracionales, por esta razón Hípaso fue sentenciado a la pena capital, por sus compañeros pitagóricos, ahogándolo en el mar.

La demostración de Hípaso fue algo así: se sabe gracias al teorema de Pitágoras que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos es decir a2 + b2 = c2. Ahora, en un triángulo rectángulo isósceles cuya característica es que tiene sus catetos tienen la misma longitud, se representa como n2 + n2 = m2, lo que sería igual a 2n2 = m2 y operando esto tendremos √2= m/n. ¡¿Una fracción?! Hasta aquí vamos a suponer que m y n no comparten ningún factor en común y que por lo tanto es una fracción irreductible, tal como 1/3 o 2/5. Si tuviesen algún factor en común, debemos cancelarlo, como al sacarle mitad a 2/6 para quedarnos con 1/3 y cumplir nuestra hipótesis…

Como teníamos que 2n2 = m2, entonces m2 es dos veces algo, m2 tiene que ser un número par. Después, el propio m no puede ser impar (porque el cuadrado de un número impar es impar), de modo que m es un número par. Si m es el doble de algo por ser par se puede decir que m = 2k. Si elevamos al cuadrado tenemos que  m2 = 4k2, y como teníamos que m2 = 2n2 se deduce que  4k2 = 2n2. Si sacamos mitad a ambos miembros tenemos que 2k2 = n2. Pero esto ya lo hemos razonado antes: n2 debe ser un número par porque es el doble de algo y por lo tanto n también debe ser par. Entonces llegamos a una contradicción: se suponía que m y n no tenían factores en común, pero ahora vemos que ambos son pares, es decir que tiene un factor 2 en común. De lo cual se deduce que m/n no puede ser una fracción, es un número irracional.

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