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LA CONSTANTE e | EL NÚMERO DE EULER

2.000

El valor aproximado de e es 2.71828. Sin embargo, al igual que π, no tiene un valor exacto pues sus decimales crecen sin fin. Esta constante matemática es relativamente nueva. Salió a la luz apenas en el siglo XVII, mientras que la historia de π se remonta hasta la época de los babilónicos, que le daban un valor de 3.

En 1618, John Napier se topa con una constante, e, en relación con los logaritmos, por lo que también se le conoce como la constante de Napier. En 1683, Jacob Bernoulli se vuelve a topar con la misma constante tras haberse dispuesto a darnos una teoría completa del interés compuesto. Así, se puede decir que, donde sea que se halle e, invariablemente se implica crecimiento. Veamos un ejemplo sencillo.

e en el interés compuesto

Imagínese que usted deposita $1 en un banco que le paga 100% de interés anual. (Ya sé que estas cantidades son irreales, pero sirven para facilitar los cálculos mentales y entender el asunto). Una vez transcurrido el año usted tendrá $2. Pero si el 100% de interés lo dividimos en dos semestres de 50% cada uno, al primer semestre tendrá $1.5. Y al término del año tendrá $1.5 más $0.75 (50%), o sea $2.25. ¡Tendría $0.25 más! Si seguimos disminuyendo el tiempo entre cuotas vemos que las cantidades obtenidas al año siguen aumentando: para cada 3 meses de pago de interés, al año se tendría $2.44141; para cada mes el monto asciende a $2.61304, para cada semana a 2.69269, para cada día a 2.71457, para cada hora a 2.71813, para cada minuto se aproxima a 2.71828 y para cada segundo se aproxima también a 2.71828.

¿No te parece conocido el número que tiene el monto? Es e. ¿Es bueno que el dinero crezca de esa manera aplicando cuotas cada vez más cortas? Sólo si estás ahorrando como en nuestro ejemplo. Si, en cambio, le debes a un banco es muy malo porque muchos calculan sus utilidades con intereses al día.

¿Cuánto vale e exactamente?

Como ya dijimos, al igual que π, e no tiene un valor exacto porque se trata de un número irracional: no puede expresarse como la fracción de dos enteros y sus decimales son infinitos. La fracción de dos números de dos cifras que más se acerca a e es 87/32 y el de 3 cifras es 878/323. ¿No te parece curioso que los primeros números (8 y 3) se vuelvan a repetir al final para los números de tres cifras?

¿No? Pero quizá te resulte curioso que las constantes π y e se que pueden expresarse en series. Leonhard Euler descubrió, por ejemplo, que  π²/6 = 1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+1/6²+… Mientras que e puede venir dada por una serie igual de elegante: e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!… Por si no lo sabes, n! = n(n-1)(n-2)…(1). Así, por ejemplo, 3! = 3.2.1 = 6.

Su importancia

Ya habíamos dicho que siempre que e está presente es que tenemos involucrado a un crecimiento. Aparece, por ejemplo, en las curvas de crecimiento poblacional o económico, así como en las tazas de desintegración radioactiva. Pero aparece también en un sinnúmero de casos que poco o nada tienen que ver con crecimiento. Un viejo problema de estadística, por ejemplo, nos pregunta cuál es la probabilidad que ninguna de las personas que asisten a una reunión tome su propio sombrero al azar. Se ha demostrado que la probabilidad es de 1/e (aproximadamente 37%). Se puede decir que e aparece en muchísimas partes de las estadísticas, las ciencias y las ingenierías. Su aparición más épica la hace en la una fórmula atribuida a Euler y que muchos consideran como la más bella de las matemáticas:

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